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Limites de una función

Matemáticas

  Luis Fernando Posada Martínez

 Historia del cálculo

Límite de una función

Sea una función f(x) en los reales, que está definida para valores de ¨X¨ próximos a un número real ¨a¨. Sí encontramos que los valores de f(x) se aproximan más y más a un mismo número real  ¨L¨, entonces se dice:

Para que el límite exista, es necesario que los límites por izquierda y derecha sean iguales, es decir que tiendan al mimo número real. Estos se llamarán límites laterales.

Límite, definición y propiedades

Definición formal de límite Propiedades de los limites  Límites: Matemóvil

  Propiedades de los límites

Para resolver el límite de una función es importante manejar algunas propiedades:

Propiedades

P1    Unicidad del límite

      Una función f(x) no puede tender hacia 2 límites distintos al mismo tiempo. Si el               límite de f(x) existe, este debe ser ÚNICO.

P2    Límite de función polinómica

      Sea una función f(x), donde f(x) va desde los Re hasta los Re, además tiene la forma: 

P3    Límite de una función constante

        Sea una función f(x), donde f(x) va desde los Re hasta los Re, además tiene la forma

        f(x) = K, donde K es una constante. Se debe cumplir:

P4    Límite de una suma (resta) de funciones

 Sean las  funciones reales f(x) y G(x)  donde el límite de una suma o resta de      funciones es igual a la suma o resta de los límites de   cada función, siempre y       cuando los    límites existan, es decir:

P5   Límite de un producto de funciones

 Sean las  funciones reales f(x) y G(x)  donde el límite de un producto de  funciones es igual al producto de los límites de   cada función,   siempre y     cuando los    límites existan, es decir:   

Productos

P6   Límite de un cociente de funciones

 Sean las  funciones reales f(x) y G(x)  donde el límite de un cociente de  funciones es igual al cociente  de los límites de   cada función,   siempre y     cuando los    límites existan, además el denominador debe ser diferente de ¨cero¨ es decir:

Cociente    Limite de un cociente

P7   Límite de una potencia

 Sea la  función real f(x)  donde el límite de una potencia de  funciones es igual al límite de la base, elevada al exponente de la potencia, es decir:

P8   Límite de una raíz

 Sea la  función real f(x)  donde el límite de una raíz  de  funciones es igual a la RAÍZ del límite de la función, siempre que el límite exista, es decir que sea positivo y el índice sea PAR. Al sacar el límite de una raíz de una función, se puede presentar:

Límites de radicales

P9   Límite del logaritmo de una función

 Sea la  función real f(x)  donde el límite del logaritmo de  una función es igual al  logaritmo del límite  de la función siempre y cuando el límite  sea positivo.

P10   Función intermedia ( Teorema del sanduche)

 Sean las  funciones  reales f(x), G(x) y H(x).  Si la función f(x) se encuentra entre dos funciones reales  G(x) y H(x), y además :

P11   Límite de una función trigonométrica

 Sean las  funciones  trigonométricas: Sen, Cos, Tan, Ctg, Sec y Csc.  Se debe cumplir que:

   

Limites trigonométricos   Límites FT    LFT

 Indeterminaciones

 Indeterminaciones matemáticas

Una indeterminación matemática es una expresión que tiene la forma:

Para resolver las indeterminaciones, tendremos en cuenta lo siguiente:

Indeterminaciones de la forma 0/0 

Si al aplicar las propiedades  de los límites encontramos una indeterminación de la forma 0/0, se busca eliminar el ¨Cero¨del denominador:

• Se factoriza la expresión
• Se cancelan términos semejantes
• Aplicamos propiedades de los límites

Si la función f(x) es IRRACIONAL ( Aparece un radical en el numerador o denominador), se hace:

• Se aplica la ley uniforme, multiplicando numerador y denominador por la conjugada de la expresión donde aparece el radical.
• Se aplica productos notables a la expresión (Factorización)
• Se cancelan términos semejantes
• Aplicamos propiedades de los límites

Indeterminaciones de la forma 00/00 (Infinito/infinito) 

Hasta el momento hemos analizado límites cuando X tiende hacia a, sin embargo es posible analizar el comportamiento de la función   f(x)   cuando    X toma valores  cada vez más GRANDES (+ , --), es decir cuando X tiende a más infinito ó menos infinito. 

Límites infinitos 

Límites infinitos   Límites interactivos  Límites   Ejercicios en general

 ¿Cómo resolver límites al infinito?

Límites especiales 

Hasta el momento hemos analizado límites cuando X tiende hacia a, sin embargo es posible analizar el comportamiento de la función   f(x)   cuando    X toma valores  cada vez más GRANDES, es decir cuando X tiende a más infinito ó menos infinito. También encontraremos algunos límites diferentes que llamaremos ESPECIALES. Entre los principales tenemos:

Existe otra forma de resolver el límite anterior, esta sería aplicando la propiedad 1 P1 de los límites especiales, es decir:

Límites interactivos   Limites de TODO  Quiz de límites  Quiz interactivo    Matemóvil

Aprovechando todas   las   herramientas   que    nos traen las TIC,   y   los   recursos didácticos en el  proceso ENSEÑANZA   APRENDIZAJE  de   la   matemática,   en   las siguientes direcciones electrónicas podemos encontrar lecturas complementarias  y una serie de animaciones que nos ayudarán a   una mejor comprensión  de  todo   lo relacionando con los matemática y  la naturaleza.

Geometría analítica

Valor absoluto e inecuaciones

Funciones y algo más

Limites de una función

Función continua y derivadas